Aufgaben zu Bruchgleichungen, die auf lineare Gleichungen führen

Tipp: Für die bestimmung der Definitionsmenge musst du explizit die Nenner anschauen.

Versuche Überkreuz zu multiplizieren.

Die Idee ist die Bruchtermgleichung mit Hilfe von Äquivalenzumformungen in eine lineare Gleichung zu bringen. Dafür muss man zunächst die Definitionsmenge bestimmen und an geeigneter Stelle über Kreuz multiplizieren.

Bestimme also zunächst die Definitionmenge. Sowohl auf der linken Seite als auch auf der rechten Seite vom Gleichheitszeichen ist der Nenner der Terme $x$.

Man darf also die $0$ nicht einsetzen.Für die Definitionsmenge gilt: $D=\mathbb{Q}\backslash \{0\}$.

Nun zur Lösungsmenge:

Versuche zunächst die Gleichung Bruchfrei zu machen.

$$-\frac{{\displaystyle 1}}{{\displaystyle x}}=5+\frac{{\displaystyle 1}}{{\displaystyle x}}$$

Auf den gleichen Nenner bringen

$$-\frac{{\displaystyle 1}}{{\displaystyle x}}=\frac{{\displaystyle 5x}}{{\displaystyle x}}+\frac{{\displaystyle 1}}{{\displaystyle x}}$$

Addiere

$$-\frac{{\displaystyle 1}}{{\displaystyle x}}=\frac{{\displaystyle 5x+1}}{{\displaystyle x}}$$

Überkreuzmultiplizieren

$-x=5x^2+x$

$|:x$ (Man darf durch $x$ teilen, weil $0$ nicht in der Definitionsmenge ist)

$-1=5x+1$

$|-1$

$-2=5x$

$|:5$

$$x=-\frac{{\displaystyle 2}}{{\displaystyle 5}}$$

$$-\frac{{\displaystyle 2}}{{\displaystyle 5}}$$ ist in der Definitionsmenge enthalten und somit eine Lösung der Gleichung.Es gibt keine weiteren Lösungen.

Also ist die Lösungsmenge $𝕃$ der Gleichung $$𝕃=\{-\frac{{\displaystyle 2}}{{\displaystyle 5}}\}$$.